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IMPORTANTE / IMPORTANT
[ES] Por favor, debes agregar lo que haces en tu universidad, si no está en la lista.
Para lo que está escrito en su idioma nativo, debes borrar y volver a escribir si
usas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales
si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre
ejemplo:
<! - this is a comment ->
[FR] Il faut rajouter ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste.
Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, il faut effacer et écrire de nouveau
si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles
si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre
exemple :
[EN] You must add what you do in your university, if it is not in the list. For what is written
in your native language, you must erase and rewrite if you use other words or other explanations.
Complete your usual equations if they are different from those already written.
Write your comments between
example:
"
" impone un salto a la linea siguente.
"
" impose un retour à la ligne.
"
" impose a line break.
Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations
Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis
Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ?
[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens
[EN] 2 characteritics : magnitude (or length) and direction.
ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL : [ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés. [FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais. [EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.
Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
-
[ES] Los vectores pueden representar diferentes cantidades físicas.
ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M.
[FR] Les vecteurs peuvent représenter des grandeurs physiques différentes.
exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M.
[EN] The vectors can represent different physical quantities.
example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M. -
[ES] Las normas de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas (ejemplo: velocidad y fuerza) se expresan en diferentes unidades (respectivamente: $
ms^{-1}$ y $N$). Ellos no se pueden comparar.
[FR] Les normes de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes (exemple : vitesse et force) s’expriment dans des unités différentes (respectivement : $m.s^{-1}$
et $N$). Elles ne peuvent pas être comparées.
[EN] The norms of vectors corresponding to different physical quantities (example: speed and force) are expressed in different units (respectively: $ms^{-1}$ and $N$). They cannot be compared.
Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
-
[ES] Dos vectores $
\vec{A}$ et $\vec{B}$ son colineales si tienen igual dirección.
[FR] Deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont colinéaires s’ils ont la même direction :
[EN] Two vectors $\vec{A}$ et $\vec{B}$ are collinear if they lie on the same line or parallel lines :
Il existe alors un nombre réel $\alpha$ tel que l’on peut écrire $\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}$
" $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont colinéaires" $\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}$ -
[ES] Dos vectores $
\vec{A}$ et $\vec{B}$ son colineales si non tienen igual dirección.
[FR] Deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont non colinéaires s’ils ont des directions différentes.
[EN] Two vectors $\vec{A}$ et $\vec{B}$ are non collinear if they lie on non parallel lines :
Pour tout nombre réel $\alpha$ on peut écrire $\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}$.
"$\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont non colinéaires" $\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}$$\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}$
Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.
Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
en un plano $\mathcal{P}$ / dans un plan $\mathcal{P}$ / in a plane $\mathcal{P}$
-
Definición / Définition :
[ES] 2 vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ pertenecientes a un plano $\mathcal{P}$, no nulos, no colineales y ordonados en una secuencia $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ forman una base $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ de este plano.
[FR] 2 vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ appartenant à un plan $\mathcal{P}$, non nuls, non colinéaires et ordonnés dans une suite $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ forment une base $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ de ce plan.
[EN] ... -
Propiedad / Propriété :
[ES] Si $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ es una base de un plano $\mathcal{P}$, entonces cualquier vector $\vec{V}$ de $\mathcal{P}$ se descompone de forma única en una combinación lineal de los vectores de base $\vec{a}$ et $\vec{b}$.
[FR] Si $(\vec{a}\,,\,\vec{b})$ est une base d'un plan $\mathcal{P}$, alors tout vecteur $\vec{V}$ de $\mathcal{P}$ se décompose de façon unique en une combinaison linéaire des vecteurs de base $\vec{a}$ et $\vec{b}$.
[EN] ... -
Écriture mathématique :
"$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ est une base de $\mathcal{P}$" $\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}$$\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$$\quad \overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}$
Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.
en un espacio vectorial $\mathcal{E}$ de dimensión $n$ / dans un espace vectoriel $\mathcal{E}$
de dimension $n$ / in a vector space $\mathcal{E}$ of dimension $n$
( [ES] En matemáticas, una secuencia es un conjunto ordenado de elementos, llamados sus "términos".
y que están indexados por números naturales.
[FR] En mathématiques, une suite est un ensemble ordonné d'éléments, appelés ses "termes"
et qui sont indexées par les entiers naturels.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)
[EN] In mathematics, a sequence is an ordered set of elements, called its "terms"
and which are indexed by natural numbers.)
-
[ES] $
n$ vectores ordenados* en una *secuencia $(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$* forman una base de un espacio vectorial $\mathcal{E}$ de dimensión $n$ si cualquier vector de este espacio se descompone de manera única en una combinación lineal de los vectores $\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}$.
[FR] **$n$ vecteurs ordonnés** dans une *suite $(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$* forment une **base** d'un espace vectoriel $\mathcal{E}$ de dimension $n$, si *tout vecteur $\vec{V}$* de cet espace $\mathcal{E}$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs
$\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}$.
[EN] $n$ vectors ordered in a *sequence $(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$* form a basis of a vector space $\mathcal{E}$ of dimension $n$ if any vector of this space decomposes in a unique way into a linear combination of the vectors $\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}$. -
"$
(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})$ est une base de $\mathcal{E}$"$\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}$$\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n$$\quad \overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{e_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{e_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{e_n}$
Sistemas de coordenadas / Systèmes de coordonnées - Repère de l’espace /
IMPORTANTE / IMPORTANT
[ES] No veo en español o inglés la distinción entre "sistema de coordenadas" y
lo que llamamos en Francia el "repère" asociado. ¿Me equivoco? Si esta diferencia
existe entre los tres idiomas, será importante explicarla en el curso.
Definir un "repère" me parece importante para hacer la distinción entre
"repère" y marco de referencia...
[FR] Je ne vois pas en espagnol ou en anglais la distinction entre "système de coordonnées" et
le repère associés. Je me trompe ? Si cette différence existent entre les trois langues,
l'expliciter dans le cours sera important.
Définir la notion de repère me parait important pour faire la différence entre repère
et référentiel...
[EN] I don't see in Spanish or English the distinction between "coordinate system" and
what we call in France the associated "repère". I am wrong? f this difference exists
between the three languages, explaining it in the course will be important.
To define a "repère" seems to me important to me to make the distinction between
"repère" and reference frame...
-
[ES] En mecánica clásica (no relativista), el tiempo y el espacio no están acoplados.
[FR] En mécanique classique (non relativiste) , temps et espace ne sont pas couplés.
[EN] In classical mechanics (not relativistic), time and space are not coupled. -
[ES] En el espacio, la posición de un punto M se identifica a partir de un punto O origen del espacio por el vector $
\overrightarrow{OM}$.
[FR] Dans l’espace, la position d’un point M est repérée à partir d’un point O origine de l’espace par le vecteur $\overrightarrow{OM}$.
[EN] In space, the position of a point M is marked from a point origin O of the space by the vector $\overrightarrow{OM}$. -
[ES] El espacio clásico de Newton tiene 3 dimensiones. Esto significa que, desde el origen O del espacio, la posición de cualquier punto M se puede definir de forma única mediante 3 números reales $
(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )$, llamados ** coordenadas ** (o coordenadas espaciales) del punto M. Escribimos $M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)$.
[FR] L’espace classique de Newton a 3 dimensions. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace, la position de tout point M peut-être définie de façon unique par 3 nombres réels $(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )$ , appelés coordonnées (ou coordonnées spatiales) du point M. On écrit $M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)$.
[EN] The Newton's classical space has 3 dimensions. This means that, from the origin O of space, the position of any point M can be uniquely defined by 3 real numbers $(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )$, called coordinates (or spatial coordinates) of point M. We write $M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)$. -
[ES] Si no nos referimos a un punto particular en el espacio, sino a un cualquier punto que puede estar en cualquier lugar del espacio, entonces sus coordenadas son variables reales, y simplemente escribimos $
M=M(\alpha, \beta, \gamma)$.
[FR] Si nous ne faisons pas référence à un point particulier de l'espace, mais à un point quelconque pouvant se situer n'importe où dans l'espace, alors ses coordonnées sont des variables réelles, et nous écrivons simplement $M=M(\alpha, \beta, \gamma)$.
[EN] If we are not referring to a particular point in space, but to any point that can be located anywhere in space, then its coordinates are real variables, and we simply write $M=M(\alpha, \beta, \gamma)$. -
[ES] Hay varias formas posibles de definir unas coordenadas espaciales: Hablamos de ** sistemas de coordenadas**.
[FR] ]Il y a *plusieurs façons possible de définir des coordonnées spatiales* : On parle de **systèmes de coordonnées**.
[EN] There are *several possible ways to define spatial coordinates*: We speak of ** coordinate systems**.
Exemples de systèmes de coordonnées.
Caractéristiques d’une base / d’un repère
Base normée $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ / repère normé $(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})$
-
Les vecteurs de la base ou du repère sont de norme unité.
-
$
||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1$ .
Base orthogonale $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ / repère orthogonal $(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})$
-
Les vecteurs de la base ou du repère sont orthogonaux 2 à 2.
-
$
\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}$.
Base orthonormée $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ / repère orthonormé $(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$
-
orthonormé = ortho+normé :
- ortho : $\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}$.
- normé : $\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1$. -
orthonormé : $
\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}$
avec le symbole e Kronecker $\delta_{i\,j}$ défini par :
$\delta_{i\,j}=1$ si $i=j\quad$ et $\quad\delta_{i\,j}=0$ si $i \ne j$
Règle d'orientation de l'espace.
-
Deux vecteurs $
\vec{a}$ et $\vec{b}$ unitaires et non colinéaires forment une base normée $(\vec{a},\vec{b})$ d'un plan dans l'espace. -
Cette base $
(\vec{a},\vec{b})$ peut être complétée par un troisième vecteur $\vec{c}$, unitaire et perpendiculaire à $\vec{a}$ et à $\vec{b}$, pour former une base orthonormée $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ de l'espace. -
d'un repère orthonormé $
(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ de l'espace définissent un plan $\mathcal{P}$. Le troisdème vecteur $\vec{c}$, perpendiculaire à la fois aux vecteurs $(\vec{a}$ et $(\vec{b}$, possède une direction donnée par la droite normale (perpendiculaire) au plan $\mathcal{P}$.
mais il y a deux sens possibles pour ce vecteur $(\vec{c}$.
-
Un vecteur $
\vec{c}$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ possède une direction la droite normale (perpendiculaire) au plan $\mathcal{P}$, mais il y a deux sens possibles pour ce vecteur $\vec{c}$. -
Ces deux sens possibles sont distingués par une règle d’orientation de l’espace : la règle des 3 doigts de la main droite :
Repère orthonormé direct / indirect
Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /
valable dans une base $(\vec{a},\vec{b})$ quelconque d'un plan $\mathcal{P}$
$\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})$
$\Longrightarrow$ commutativité :
$\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}$
$\Longrightarrow$ associativité :
$\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3$
$\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}$
$\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}$
$\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})$
$ = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$
$+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})$
$= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$
Norma de un vector / norme d'un vecteur / ...
$||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}$
Vector unitario / Vecteur unitaire /
"$\overrightarrow{U}$ est unitaire" $\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1$
Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires /
"$\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires"
$\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}$
$\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}$
"$\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires"
$\quad\Longrightarrow\quad ...$
"$\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires"$ $\Longrightarrow\left|\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||,si,\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0\
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||,si, \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi`$
$\underline{\overrightarrow{B}}^{\,0}_{\,ref}=\left|\begin{array}{l} +\,B_{ref}^0\,cos\,\theta_{ref} \\ 0 \\ +\,B_{ref}^0\,sin\,\theta_{ref} \end{array}\right.\quad , \quad$
$\underline{\overrightarrow{B}}^{\,0}_{\,trans}=\left|\begin{array}{l} -\,B_{trans}^0\,cos\,\theta_{trans} \\ 0 \\ +\,B_{trans}^0\,sin\,\theta_{trans} \end{array}\right.$ ,
Producto escalar de dos vectores ortogonales /Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux /
Caractéristiques des vecteurs de base d’une base orthonormée
-
Les vecteurs sont unitaires (de norme unité), donc :
-
Les vecteurs sont orthogonaux 2 à 2, donc :
Produit scalaire de 2 vecteurs dans une base orthonormée
Norme d’un vecteur dans une base orthonormée
Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée
Produit vectoriel de 2 vecteurs
Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base quelconque
Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base orthonormée
Produit mixte de 3 vecteurs
Produit mixte de 2 vecteurs dans une base quelconque
Produit mixte de 2 vecteurs dans une base orthonormée
Dérivée d’un vecteur par rapport au temps
FR - Localiser un point dans l’espace tridimensionnel : une origine $O$, et trois axes $Ox$, $Oy$ et $Oz$ se coupant en O.
L’ensemble constitue le repère, notation $(O,x,y,z)$
Repère orthogonal : les axes sont deux à deux orthogonaux : $Ox\perp Oy$, $Ox\perp Oz$ et $Oy\perp Oz$.
base, repère de l'espace
-
base de l'espace
-
base orthonormée
-
repère cartésien de l'espace
vector / vecteur / vector
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04)
FR - vecteur, représentation graphique
addition et soustraction de vecteurs
(vers la statique, que nous ne faisons pas)
produit scalaire de 2 vecteurs
produit vectoriel de deux vecteurs
produit mixte
Différentielle d'un vecteur
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rappel sur la différentielle d'une fonction
-
différentielle d'un vecteur