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@@ -28,170 +28,46 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 <!--MétaDonnée : INS-1°année_-->
 
 
-#### Que son 
+#### Que sont les coordonnées cartésiennes ?
 
-* 3 coordonadas
+* 3 coordonnées *spatiales* : **$`\mathbf{x\;,\;y\;,\;z}`$**
 
-* ...
+* définies à partir d'un **système de référence** :<br>
+\- **1 point $`O`$** de l'espace, *origine* des coordonnées.<br>
+\- **3 axes** *orthogonaux 2 à 2*.<br>
+\- **1 unité de longueur** identique pour les axes.
 
-* **$`\mathbf{\rho}`$** y **$`\mathbf{z}`$** son ...
+* **$`\mathbf{x, y, z}`$** sont des *longueurs*, de coordonnées SI : le mètre *($`\mathbf{m}`$)*.
+<br><br>
+![](cartesian_coordinates_definition_L1200.gif)
  
-* **$`\mathbf{\varphi}`$** es un *angulo* expr...  *($`\mathbf{rad}`$)*.
+#### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ?
 
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+![](cartesian_coordinates_variation_range_L1200_v1.gif)
 
-![](cylindrical_coordinates_definition_L1200.gif)
 
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+#### Quelle est la propriété spécifique des coordonnées cartésiennes ?
 
-#### Que son ... ?
+* **Pour tout point $`M`$** de l'espace $`\mathscr{E}`$ de *coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$*, la distance $`OM`$ 
+s'exprime simplement en fonction des coordonnées :<br><br> 
+**$`\mathbf{OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}`$**. 
 
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-
-![](cylindrical_coordinates_variation_range_L1200_v2.gif)
-
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-
-#### Commo ...s ?
-
-* Métoda : ... $`\overrightarrow{OM}`$ ... $`Oz`$, ... $`xOy`$ ... $`M_{xOy}`$ 
-* ... $`Ox`$ et $`Oy`$, *...* ... *sine* y *cosine*.
-
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-
-![](cylindrical_coordinates_projection.png)
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-
-* $`\Longrightarrow`$
-**$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$**
-
-#### Como ... ?
-
-* ... $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ ... **...** ... $`M`$ ... *s... $`\alpha`$* ... $`M`$ *... $`d\alpha^+`$*.
-
-##### Vector ...  $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-
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-
-![](cylindrical_coordinates_unit_vector_phi_definition_L1200_v3.gif)
-
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-
-* D... **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M"(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$**<br>
- (con $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)<br>
-<br>**$`\Longrightarrow`$ ...** ... **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
-$`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : ... $`M`$ ... $`\rho_M`$ ... $`z_M=const`$, ... $`\varphi`$ ....
-
-* ... : $`l_{\Delta\varphi}`$<br>
- ... : $`\overrightarrow{MM''}`$
-
-* ... *... :  $`\mathbf{l_{\Delta\varphi} \ne\, ||\overrightarrow{MM''}||}`$*.
-* ... **infinitésimal : $`\mathbf{dl_{\varphi}=\,||\overrightarrow{MM''}||}`$**.
- 
-* ... ($`d\varphi=d\varphi^+>0`$  o $`d\varphi^-<0`$) :<br>
-<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}}`$** *$`\displaystyle=\lim_{\Delta\varphi\rightarrow 0} \overrightarrow{MM''}`$* **$`\mathbf{=\rho_M\cdot d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
-
-
-
-##### Vectores unitarios $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$
-
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-
-![](cylindrical_coordinates_e-z_e-rho_unit_vector_L1200.gif)
-
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-
-* **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$**<br>
-**$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** <br>
-(con $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ y $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)<br>
-<br>**$`\Longrightarrow`$ ...** de <br>
-**$`\quad\overrightarrow{e_{\rho}}`$** : ... $`Om_{xOy}`$.<br>
-**$`\quad\overrightarrow{e_z}`$** : ... $`Oz`$.
-
-* ... $`M`$ : ... <br>
-$`\Longrightarrow`$ ... = ....<br>
-$`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad l_{\Delta z}=||\overrightarrow{MM'''}||`$
-
-
-* ... ($`d\rho\;, dz >0\;\text{ou}<0`$) :<br>
-**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta\rho\rightarrow 0} \overrightarrow{MM'}`$ **$`\mathbf{ = d\rho \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}}`$**.<br>
- **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \overrightarrow{MM'''}`$
- **$`\mathbf{=dz \cdot \overrightarrow{e_z}}`$**.
-
-#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ esta ortonormada.
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-
-![](cylindrical_coordinates_orthogonal_base_L1200.jpg)
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-
-* $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ ... *... $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*.
-
-*  **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** ... **directa si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** ... **direc...**, y *...*.
-
-* **$`\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{\overrightarrow{e_{\rho}}=\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \\\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \end{array}\right.`$**
-
-* ...  $`(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$, .. *... $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$* :<br>
-\- ... **...**.<br>
-\- **...** *cuando $`\varphi_M`$ ...*.
-
-#### Como ... $`\overrightarrow{OM}`$ ?
-
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-
-![](cylindrical_coordinates_vector_OM_L1200.gif)
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-
-*  **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$**
-
-#### Que son ... $`dl`$ y ... $`\overrightarrow{dl}`$ ?
-
-* Un punto **$`M(\rho,\varphi,z)`$** ... **...** ... $`M'(\rho+d\rho,\varphi+d\varphi,z+dz)`$, con *$`d\rho`$, $`d\varphi`$ y $`dz`$ ..., ...*, ... $`\rho\;,\;\varphi\;,\;z`$.
-
-##### Vector ... $`\overrightarrow{dl}`$
-
-* vector ... = *...c* [Norme IEC](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02)
-
-* El **vector ...** ...
-**$`\overrightarrow{dl}`$** $`\;=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$
-**$`\quad=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\,d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$**
-
-*  permite de calcular los vectores ... $`\overrightarrow{v}(t)`$ y ... $`\overrightarrow{a}(t)`$ de un punto M a cada instante t :<br>
-**$`\overrightarrow{v}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dOM}}{dt}`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}`$**<br>
-**$`\overrightarrow{a}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{d^2 OM}}{dt^2}`$**$`\;=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}\right)`$**
-
-##### Elemento de longitud $`dl`$
-
-* elemento de longitud = *...* [Norme IEC](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-01)
-
-* El **elemento de longitud $`dl`$** ... *...* ... $`M`$ y $`M'`$ :<br>
-**$`dl`$**$`\;=\sqrt{dl_{\rho}^2+dl_{\varphi}^2+dl_z^2}`$**$`\;=\sqrt{d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2}`$**
-
-* Permite de calcular la longitud $`\mathscr{l}`$ de una trayectoria $`L`$ ... $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ y $`z(t)`$ ...s :<br>
-**$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$**
-
-#### Que es la superficia... ?
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-
-![](cylindrical_coordinates_surface_4_L1200.jpg)<br>
+* Cette propriété est **propre aux coordonnées cartésiennes** :<br>
 <br> 
-![](cylindrical_coordinates_surface_2_L1200.jpg)<br>
+Soit $`(O,\alpha,\beta,\gamma)`$ un système de coordonnées,
 <br> 
-![](cylindrical_coordinates_surface_3_L1200.jpg)<br>
+$`\mathbf{\forall M(\alpha;\beta,\gamma)\in\mathscr{E}\quad| \quad OM=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2})}`$
+$`\mathbf{\quad\Longleftrightarrow\quad(\alpha;\beta,\gamma)}`$ sont des coordonnées cartésiennes.
 
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-#### Que es ... ?
+<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
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-![](cylindrical_coordinates_volume_L1200.jpg)<br>
 
+#### Comment définir le vecteur unitaire associé à chaque coordonnée ?
 
+#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
 
+![](cartesian_coordinates_position_vector_OM_L1200.gif)
 
+##### Quelle différence entre coordonnées d'un point $`M`$, et composantes du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ ?