|
|
---title: Systèmes de coordonnéespublished: falsevisible: false---
[ES] Estos elementos del curso se apoyan en el capítulo anterior "geometrías-espacio-tiempo", en el marco intuitivo del espacio y el tiempo de Newton, del teorema de Pitágoras y del dominiode las funciones trigonométricas.<br>[FR] Ces éléments de cours s'appuient sur le chapitre précédent "geometries-space-time", dans lecadre intuitif de l'espace et le temps de Newton, du théorème de pythagore et de la maitrisedes fonctions trigonométriques.<br>[EN] These elements below lean on the previous chapter "geometries-space-time", in theNewton's intuitive framework of space and time, of the Pythagorean theorem and withthe mastery of the trigonometric functions.
## Sistema de coordenadas / Système de coordonnées / Coordinate system
* **N1 ($`\rightarrow`$ N2, N3, N4)**<br>[ES] Se percibe que el espacio tiene 3 dimensiones, y el tiempo una sola dimensión, que va del pasado al futuro <br>$`\Longrightarrow`$ sistema de coordenadas : 3+1=4 números reales que especifican la posición y fecha en el espacio y el tiempo de cualquier punto o evento $`M`$.<br>[FR] L'espace est perçu comme ayant 3 dimensions, et le temps une dimension unique fléché du passé vers le futur<br>$`\Longrightarrow`$ système de coordonnées : 3+1=4 nombres réels qui précisent la position et la date dans l'espace et le temps de tout point ou évènement $`M`$.<br>[EN] Space is perceived as having three dimensions, and time a single dimension, arrowed from the past to the future<br>$`\Longrightarrow`$ coordinate system : 3+1=4 real numbers which specify the position and the date in space and time of any point or event $`M`$.
# En mecánica clásica / En mécanique classique / In classical mechanics
y en mecánica cuántica no relativista / et en mécanique quantique non relativiste /and in non-relativistic quantum mechanics :
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>[ES] El espacio y el tiempo son independientes, por lo que hay dos sistemas de coordenadas independientes :<br>[FR] L'espace et le temps sont indépendants, donc il y a deux systèmes de coordonnées indépendants :<br>[EN] Space and time are independent, so there are two independent coordinate systems :<br>
* **N2 ($`\rightarrow`$ N3, N4)**<br>**Sistema de coordenadas espaciales / système de coordonnées spatiales / spatial coordinate system :**<br>[ES] El espacio euclidiano de la mecánica de Newton tiene tres dimensiones $`\Longrightarrow`$ 3 números reales son necesarios y suficientes para marcar una posición en el espacio.<br>[FR] L'espace euclidien de la mécanique de Newton a trois dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 nombres réels sont nécessaires et suffisants pour repérer une position dans l'espace.<br>[EN] The Euclidean space of Newton's mechanics has three dimensions $`\Longrightarrow`$ 3 realnumbers are necessary and sufficient to locate a position in space.
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>**Sistema de coordenada temporale / Système de coordonnée temporelle / Time coordinate system :**<br>[ES] El tiempo tiene una dimensión, apuntando del pasado al futuro $`\Longrightarrow`$ solo un numero real es necesario y suficiente para marcar una fecha en el tiempo.<br>[FR] Le temps possède une seule dimension $`\Longrightarrow`$ seul un nombre réelest nécessaire et suffisant pour dater un évènement dans le temps.<br>[EN] Time has one dimension $`\Longrightarrow`$ only one realnumber is necessary and sufficient to date an event in time.
### Coordenadas cartesianas / Coordonnées cartésiennes / Cartesian coordinates (N2-N3-N4)
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>[ES] En el marco del espacio y del tiempo de Newton, y de la geometría euclidiana.<br>[FR] Dans le cadre de l'espace temps de Newton, et de la géométrie euclidienne.<br>[EN] In the framework of Newton's space and time, and Euclidean geometry.<br>
* **N2 ($`\rightarrow`$ N3, N4)**<br>Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :<br>$`(x,y,z)`$,<br>con / avec /with :$`x\in\mathbb{R}`$, $`y\in\mathbb{R}`$ et $`z\in\mathbb{R}`$.<br>Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :<br>$`(x_M,y_M,z_M)`$.<br>Escribimos / on écrit / we write :<br>$`M(x_M,y_M,z_M)`$<br>Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;<br>$`M(x,y,z)`$.
##### Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" / Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" / Characteristic of "Cartesian" coordinate systems
* **N2 ($`\rightarrow`$ N3, N4)**<br> [ES] La distancia $`d_ {12}`$ entre dos puntos $`M_1`$ y $`M_2`$ del espacio, y de coordenadas cartesianas $`(x_1, y_1, z_1)`$ y $`(x_2, y_2, z_2)`$ está dado por el teorema de Pitágoras:<br>[FR] La distance $`d_{12}`$ entre deux points $`M_1`$ et $`M_2`$ dans l'espace, et de coordonnéescartésiennes $`(x_1, y_1, z_1)`$ et $`(x_2, y_2, z_2)`$ est donné par le théorème de Pythagore :<br>[EN] The distance $`d_ {12}`$ between two points $`M_1`$ and $`M_2`$ in space, and ofCartesian coordinates $`(x_1, y_1, z_1)`$ and $`(x_2, y_2, z_2)`$ is given by the Pythagorean theorem:<br><br>$`d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}`$
<!--$`d_{12}=\sqrt{(x_2-X_1)^2+(Y_2-Y_1)^2+(Z_2-Z_1)^2}=\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^3(X_2^î-X_1î)^2}`$-->
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>[ES] Un punto $`M(x,y,z)`$ hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>el Elemento escalar de línea $`dl`$ es :<br>[FR] Un point $`M(x,y,z)`$ fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>l'élément scalaire de longueur $`dl`$ est :<br>[EN] A point $`M(x,y,z)`$ makes an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>the scalar line element $`dl`$ writes :<br><br>$`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>[ES] elemento vectorial de línea :<br>[FR] vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ <br> (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02 : Il faudrait mieux dire et écrire élément vectoriel d'arc?) :<br> [EN] vector line element or veftor path element :<br>$`d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{MM'}=dl\,\overrightarrow{e_T}`$,<br>con / avec / with<br><!--$`\overrightarrow{e_T}
=\dfrac{\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}}{\left| \left| \dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x} \right| \right|}`$.-->
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>[ES] Cuando solo la coordenada $`x`$ de un punto $`M(x,y,z)`$ varíacontinuamente entre los valores $`x`$ y $`x+\Delta x`$, el punto M recorre un segmentode longitud $`\Delta l_x=\Delta x`$. Cuando $`x + \Delta x`$ tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_x`$ recorrida para el punto $`M`$ es :<br>[FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ varie de façon continue entre les valeurs $`x`$ et $`x+\Delta x`$, le point M parcourt un sègmentde droite de longueur $`\Delta l_x = \Delta x`$. Lorsque $`x+\Delta x`$ tend vers $`0`$,la longueur infinitésimale $`dl_x`$ parcourt pour le point $`M`$ est :<br>[EN] When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(x, y, z)`$ variescontinuously between the values $`x`$ and $`x + \Delta x`$, the point M coversa line segment of length $`\Delta l_x = \Delta x`$. When $`x + \Delta x`$ tendstowards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_x`$ covered by the point $`M`$ is :<br><br>$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$$`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$.<br> <!--\text{élément scalaire d'arc : }--><br>tambien / de même / similarly : $`dl_y=dy`$ et $`dl_z=dz`$.
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>[ES] Cuando solo la coordenada $`x`$ de un punto $`M(x,y,z)`$ aumentainfinitesimalmente entre los valores $`x`$ y $`x+dx`$ ($`dx>0`$), el vector de desplazamiento$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ del punto $`M`$ el vector tangente a la trayectoria en el punto $`M`$ que se escribe :<br>[FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteurtangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit :<br>When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally betweenthe values $`x`$ and $`x+dx`$ ($`dx>0`$), the displacement vector$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ of the point $`M`$ is the tangent vector to the trajectory at point $`M`$. It writes :<br><br>$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$<br><br>[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_x}`$ (que indica la dirección y el sentidode desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:<br>[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :<br>[EN] The unit vector tangent to the trajectory $`\overrightarrow{e_x}`$ (which indicates the direction of displacement of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :<br><br>$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$<br><br>tambien / de même / similarly :<br>$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$,$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$<br>$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br> [ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ forman una **base ortonormal** del espacio. La base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ es la **base asociada a las coordenadas cartesianas**. En coordenadas cartesianas, los vectoresde base asociadas a las coordenadas cartesianas mantienen la **misma dirección y el mismo sentido sea cual sea la posición del punto $`M`$**.<br>[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la **base associée aux coordonnées cartésiennes**.En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la **même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.<br>[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ form an **orthonormal basis** of space. It is the **base associated with Cartesian coordinates**.In Cartesian coordinates, the base vectors keep the **same direction whatever the position of the point $`M`$**.<br><br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ base ortogonal independiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale indépendantede la position de $`M`$ / orthogonal basis independent of the position of $`M`$.
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_x`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_x}`$ se escribe :<br>[FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit :<br>[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ is the scalar line element $`dl_x`$, so the vector $`\overrightarrow{e_x}`$ writes :<br><br>$`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$<br><br>tambien / de même / similarly :<br>$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$<br>$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>[ES] Los 3 vectores $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ y$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.<br>[FR] Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.<br>[EN] The 3 vectors $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ and$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal.<br><br>$`\Longrightarrow`$ :<br>[ES] El área de un elemento de superficie construido por 2 de estos vectores se expresará simplemente como el producto de sus normas.Y el volumen definido por estos 3 vectores será simplemente el producto de sus estándares.<br>[FR] L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprimera simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs sera simplement le produits de leurs normes.<br>[EN] The area of a surface element constructed by 2 of these vectors will be expressed simply as the product of their norms. The volume defined by these 3 vectors will simplybe the product of their norms.
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=121-11-21<br>[ES] ¿Usas la letra $`S`$ o la letra $`A`$ para expresar el área de una superficie? ¿Y quéquieres usar, sabiendo que el estándar es la letra $`A`$?<br>[FR] Suivant les recommendations de cette norme, peut-être prendre l'habitude à l'INSAd'utiliser la lettre $`A`$ au lieu de $`S`$ pour exprimer l'aire d'une surface? Sinonon peut continuer avec $`S`$ si l'usage est fort, en expliquant dans une note [FR-ES-EN]que en français on utilise $`S`$ mais que $`A`$ est recommandé.<br>[EN] Do you use the letter $`S`$ or the letter $`A`$ to express the area of a surface? And what do you want to use, knowing that the standard is the letter $`A`$?<br><br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.<br>[ES] Según la dirección elegida, los **elementos escalares de superficie $`dA`$** en coordenadas cartesianas son :<br>[FR] Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dA`$** en coordonnées cartésiennes sont :<br>[EN] According to the chosen direction, the **scalar surface elements $`dA`$** in Cartesian coordinates are :<br><br>$`dA_{xy}=dl_x\;dly=dx\;dy\quad`$, $`\quad dA_{xz}=dl_x\;dlz=dx\;dz\quad`$, $`\quad dA_{yz}=dl_y\;dlz=dy\;dz`$<br><br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.<br>[ES] y los **elementos vectoriales de superficie $`\overrightarrow{dA}`$** correspondiente son :<br>[FR] et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dA}`$** correspondants sont :<br>[EN] and the corresponding **vector surface elements $`\overrightarrow{dA}`$** are :<br><br>$`d\overrightarrow{dA_{xy}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_y`$$`\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$<br><br>$`d\overrightarrow{dA_{xz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$$`\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_y}`$<br><br>$`d\overrightarrow{dA_{yz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_y\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$$`\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$$`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$<br>
### Coordenadas cilíndricas / Coordonnées cylindriques / Cylindrical coordinates (N3-N4)
Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :<br>$`(\rho, \varphi, z)`$,<br>con / avec /with :$`\rho\in [0;\infty[`$, $`\varphi\in [0;2\pi[`$ et $`z \in [-\infty;\infty[`$.<br>Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :<br>$`(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$,<br>.<br>Escribimos / on écrit / we write :<br>$`M(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify ;<br>$`M(\rho, \varphi, z)`$.
[ES] elemento escalar de línea :<br>[FR] élément de longueur :<br>[EN] scalar line element :<br>
$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$
### Coordenadas esféricas / Coordonnées sphériques / Spherical coordinates (N3-N4)
$`M=M(\rho, \theta, \varphi)`$
[ES] elemento escalar de línea :<br>[FR] élément de longueur :<br>[EN] scalar line element :<br>
$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$
### Coordenadas curvilíneas generalizadas / Coordonnées curvilignes généralisées / Generalized curvilinear coordinates (N4)
|
