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---title : Collection disparate d'éléments de cours (étape 1) : vocabulaire et équationspublished : truevisible : false---
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### IMPORTANTE / IMPORTANT
[ES] Por favor, *debes agregar* lo que haces en tu universidad, si no está en la lista. Para lo que está escrito en su idioma nativo, *debes borrar y volver a escribir* siusas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre <!-- y --> <br>ejemplo: <!-- esto es un comentario --><! - this is a comment ->
[FR] *Il faut rajouter* ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste. Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, *il faut effacer et écrire de nouveau*si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre <!-- et --> <br>exemple : <!-- ceci est un commentaire -->
[EN] *You must add* what you do in your university, if it is not in the list. For what is written in your native language, *you must erase and rewrite* if you use other words or other explanations. Complete your usual equations if they are different from those already written. Write your comments between <!-- et --> <br>example: <!-- this is a comment -->
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"\<br>" impone un salto a la linea siguente.<br>"\<br>" impose un retour à la ligne.<br>"\<br>" impose a line break.
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[ES] Esta es una oportunidad para estandarizar nuestros notación y vocabulario,<br> http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>o para indicar en el texto la equivalencia con la norma internacional siqueremos mantener nuestras notaciones y vocabularios. Ejemplo :
[FR] C'est l'occasion de normaliser notre notation et vocabulaire, <br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>ou d'indiquer dans le texte l'équivalence avec la norme internationale sion souhaite garder nos notations et vocabulaires. Exemple :
[EN] This is an opportunity to standardize our notation and vocabulary, <br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>or to indicate in the text the equivalence with the international standard if we wish to keep our notations and terms. Example :
"élément scalaire de surface $`dA`$" au lieu de "surface élémentaire ou infinitésimale $`dS`$".
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[ES] La oportunidad también de que un matemático verifique la conformidad de expresionesmatemáticas lógicas. Ejemplo :
[FR] L'occasion aussi de faire vérifier par un mathématicien la conformité des expressionsmathématiques logiques. Exemple :
[EN] The opportunity also to have a mathematician verify the conformity of logicalmathematical expressions. Example :
$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11
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## Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations
### Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis
(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04)
##### Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? <br>[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens <br>[EN] 2 characteritics : magnitude (or length) and direction.
ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :[ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés.[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais.[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.
##### Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
* [ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*. <br>_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._<br>[FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.<br>_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._<br>[EN] The *vectors* can represent *different physical quantities*. <br>_example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M._
* [ES] Las *normas* de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas _(ejemplo: velocidad y fuerza)_ se expresan en *diferentes unidades* _(respectivamente: $`ms^{-1}`$ y $`N`$)_. Ellos *no se pueden comparar*.<br>[FR] Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple :vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$ et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.<br>[EN] The *magnitudes* of vectors corresponding to different physical quantities _(example: speedand force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_. They *cannot be compared*.
##### Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
* [ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*.<br>[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :<br>[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **collinear** if they lie on the *same line or parallel lines* :<br><br>Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$<br>" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
* [ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si non tienen *igual dirección*.<br>[FR] Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*.<br>[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **non collinear** if they lie on *non parallel lines* :<br><br>Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.<br>"$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.
#### addition et soustraction de vecteurs
#### vecteurs lié&s, vecteurs libres
#### Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
##### en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
* Definición / Définition :<br>[ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados**en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano.<br>[FR] **2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.<br>[EN] ...
* Propiedad / Propriété :<br>[ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>[FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>[EN] ...
* Écriture mathématique :<br>"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.
##### en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
* [ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos*, llamados sus "términos".y que están *indexados por números naturales*.<br>[FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments*, appelés ses "termes" et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)<br>[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements*, called its "terms"and which are *indexed by natural numbers*.
* [ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>[FR] *$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ formentune **base d'un espace vectoriel** $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur* $`\vec{V}`$de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>[EN] *$`n`$ ordered vectors* in a sequence $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ form a **basis of a vector space** $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if *any vector* of this space decomposes in *a unique way* into a *linear combination* of the vectors $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.
* "$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}`$
* [ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$.(ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en físicadel estado sólido/estructura de materiales) :<br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>Reservamos la notación $`\vec{e_i}`$ para las bases normales y ortonormales:<br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.<br><br>[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $`\vec{a_i}`$.(exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal,en physique du solide/structure des matériaux) :<br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>Nous réservons la notation $`\vec{e_i}`$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :<br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.<br><br>[EN] For any base we denote the base vectors $`\vec{a_i}`$.(example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid statephysics/structure of materials) :<br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>We reserve the notation $`\vec{e_i}`$ for vectors of normal and orthonormal bases :<br>http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.
#### Sistemas de coordenadas / Systèmes de coordonnées - Repère de l’espace / Coordinate systems
IMPORTANTE / IMPORTANT
[ES] No veo en español o inglés la distinción entre "sistema de coordenadas" ylo que llamamos en Francia el "repère" asociado. ¿Me equivoco? Si esta diferencia existe entre los tres idiomas, será importante explicarla en el curso.<br>Definir un "repère" me parece importante para hacer la distinción entre"repère" y marco de referencia...<br>[FR] Je ne vois pas en espagnol ou en anglais la distinction entre "système de coordonnées" etle repère associés. Je me trompe ? Si cette différence existent entre les trois langues,l'expliciter dans le cours sera important.<br>Définir la notion de repère me parait important pour faire la différence entre repèreet référentiel...[EN] I don't see in Spanish or English the distinction between "coordinate system" andwhat we call in France the associated "repère". I am wrong? f this difference existsbetween the three languages, explaining it in the course will be important.<br>To define a "repère" seems to me important to me to make the distinction between"repère" and reference frame...
* [ES] En mecánica clásica (no relativista), *el tiempo y el espacio no* están *acoplados*.<br>[FR] En mécanique classique (non relativiste) , *temps et espace* ne sont *pas couplés*.<br>[EN] In classical mechanics (not relativistic), *time and space* are *not coupled*.
* [ES] *En el espacio*, la *posición de un punto M* se identifica a partir de un **punto O origen** delespacio por el **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>[FR] *Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** del’espace par le **vecteur $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>[EN] *In space*, the *position of a point M* is marked from a **point origin O** ofthe space by the **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
* [ES] El *espacio clásico* de Newton tiene **3 dimensiones**. Esto significa que, desde el origen O del espacio,la posición de cualquier punto M se puede definir de forma única mediante **3 números reales $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**, llamados **coordenadas** (o coordenadas espaciales) del punto M. Escribimos $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.<br>[FR] L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace,la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**, appelés **coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M. On écrit $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.<br>[EN] The Newton's *classical space* has **3 dimensions**. This means that, from the origin O of space,the position of any point M can be uniquely defined by **3 real numbers $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**,called **coordinates** (or spatial coordinates) of point M. We write $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
* [ES] Si no nos referimos a un punto particular en el espacio, sino a un cualquier puntoque puede estar en cualquier lugar del espacio, entonces sus coordenadas sonvariables reales, y simplemente escribimos $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.<br>[FR] Si nous ne faisons pas référence à un point particulier de l'espace, mais à un pointquelconque pouvant se situer n'importe où dans l'espace, alors ses coordonnées sont desvariables réelles, et nous écrivons simplement $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.<br>[EN] If we are not referring to a particular point in space, but to any point that canbe located anywhere in space, then its coordinates are real variables, and we simply write$`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.
* [ES] Hay *varias formas posibles de definir unas coordenadas espaciales*: Hablamos de ** sistemas de coordenadas**.<br>[FR] ]Il y a *plusieurs façons possible de définir des coordonnées spatiales* : On parle de**systèmes de coordonnées**.<br>[EN] There are *several possible ways to define spatial coordinates*: We speak of **coordinate systems**.
* [ES] Se definen caracteres alfanuméricos específicos para los sistemas de coordenadas comunes:<br>\- *coordenades cartesianas* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>\- *coordenades cilindricas* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :**$`(\rho, \phi, z)`$** (o $`(r, \phi, z)`$ si hay una ambigüedad con $`\rho`$, por ejemplo si $`\rho`$ se usa para la densidad densidad de carga eléctrica).<br>\- *coordenades esfèriques* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>[FR] Des caractères alphanumériques spécifiques sont définis pour les systèmes de coordonnées usuels :<br>\- *cartésiennes* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>\- *cylindriques* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :**$`(\rho, \phi, z)`$** (ou $`(r, \phi, z)`$ si il y a une ambiguïté avec $`\rho`$, par exemple si $`\rho`$ est utilisé pour la charge (électrique) volumique).<br>\- *sphériques* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>[EN] Specific alphanumeric characters are defined for some widely used coordinate systems :<br>\- *cartesian* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>\- *cylindrical* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :**$`(\rho, \phi, z)`$** (or $`(r, \phi, z)`$ if there is an ambiguity with $`\rho`$, for example if $`\rho`$ is used for (electric) charge density).<br>\- *spherical* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br><br>Par exemple à l'INSA au GP, on utilise $`(r, \theta, z)`$ et $`(r, \theta, \phi)`$, ce quifait que l'angle $`\theta`$ en coordonnées cylindriques est définit comme l'angle $`\phi`$en sphériques. C'est l'occasion de changer cela pour nous conformer aux normes, et pour redonnerde la simplicité dans l'apprentissage des systèmes de coordonnées.
#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base
##### Base normal / Base et repère normés / (Normal base ????)
* [ES] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>[FR] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>[EN] Normal base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>
* [ES] Los vectores de una **base normal** son *vectores de norma uno* : vectores unitarios.<br>[FR] Les vecteurs d'une **base normée** et d'un repère normé sont des *vecteurs de norme unité* : vecteurs unitaires.<br>[EN] The vectors of a **normal base** ???? (I am not sure at all here...) are *vectors with a magnitude 1* (1 in the unit system).
* $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ .
##### Base ortogonal / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base
* Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
* [ES] Los vectores de una **base ortongonale** son *vectores perpendiculares dos a dos*.<br>[FR] Les vecteurs d'une **base** ou d'un **repère orthogonal** sont des *vecteurs orthogonaux 2 à 2*.<br>[EN] The vectors of the **orthogonal base** or of the coordinate system are *orthogonal 2 to 2 vectors*
* $`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$.
##### Base ortonormal / base et repère orthonormés /
* Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$
* orthonormé = **ortho**+*normé* :<br>\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.<br>\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$.
* orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$<br>avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :<br>$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$
#### Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule
* Dos vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, formanuna base ortonormal $`(\vec{a},\vec{b})`$ de un plano en el espacio.* Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ non nuls, unitaires et orthogonaux formentune base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b})`$ d'un plan dans l'espace.
* [ES] Esta base $`(\vec{a},\vec{b})`$ se puede completar con un tercer vector $`\ve{c}`$, unitario y perpendicular a $`\vec{a}`$ y a $`\vec{b}`$, para formar una base ortonormal$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ del espacio.<br><br> [FR] Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire et perpendiculaire à $`\vec{a}`$ et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace.
* Este tercer vector $`\vec{c}`$ perpendicular a los vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ tiene **una dirección**, la línea recta normal (perpendicular) al plano $`\mathcal{P}`$, pero hay **dos sentidos posibles** para este vector $`\vec{c}`$.<br>Estos dos posibles sentidos se distinguen por una *regla de orientación del espacío*: la**regla de los 3 dedos de la mano derecha**.<br><br> Ce troisième vecteur $`\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ possède **une direction**, la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`\vec{c}`$.<br>Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : la **règle des 3 doigts de la main droite**.
Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use.
#### Repère orthonormé direct / indirect
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#### Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /
##### valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$
$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$
$`\Longrightarrow`$ commutativité : $`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}`$
$`\Longrightarrow`$ associativité : $`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3`$$`\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}`$
$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br>$`\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br>$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})`$<br>$` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$$`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$<br>$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$
##### Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude
[EN] magnitude = length
$`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$
##### Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector
$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$
##### Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors
[EN] scalar product = dot product
$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires$`\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}`$$`\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}`$
$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires $`\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0 \\ \,\\ \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}|| \;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.`$
##### Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors
$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=0`$**$`\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0`$**.
##### Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis
"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée.$`\quad\Longrightarrow`$$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ $`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$ **$`\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i`$**
##### Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis
Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ :
$`\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}) \\\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3\end{array}\right|`$$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}}{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3}{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}}{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$****$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3}{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$**
L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian :$`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad`$ (rad).
#### Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors
Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-36,il faudrait mieux utiliser en France la notation $`\vec{U}\times\vec{V}`$ plutôtque $`\vec{U}\land\vec{V}`$.On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquantnotre différence avec la notation anglosaxonne ?
##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
* [ES] .<br>[FR] Le produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ non nuls et non colinéaires de l'espace, noté $`\vec{U}\land\vec{V}`$ est un vecteur $`\vec{W}`$ :<br>\- de norme $`||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}|\cdot||\overrightarrow{V}|\cdot sin(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$<br>(l'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\;`$ (rad) ).<br>\- de direction perpendiculaire au plan définit par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$: $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{V}`$<br>\- de sens donné par la règle de la main droite : si le sens du premier vecteur $`\vec{U}`$ est indiqué par le pouce, le sens du deuxième vecteur $`\vec{V}`$ par l'index, alors le sens duproduit vectoriel $`\vec{W}=\vec{U}\land\vec{V}`$ est donné par le majeur.<br>[EN] .
* [ES] .<br>[FR] La norme $`||\vec{U}\land\vec{V}||`$ du produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ a pour valeur numériquel'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$.<br>[EN] .
* [ES] .<br>[FR] On note que, du fait de l'utilisation une fois (ou d'un nombre impair de fois) d'une (même) règle d'orientation de l'espace dans sa définition, le produit vectoriel est anti-commutatif :<br>$`\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}=\,-\,\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{U}`$.<br>[EN]
* [ES] .<br>[FR] Le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs :<br>$`\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}`$.<br>[EN]
##### En relation avec les symétries ...
Le produit scalaire de deux vecteurs vraies (ou polaires) est un vecteur axial (ou pseudo vecteur)...
##### Pour un chemin sur les 4 niveaux ...
Scalaire = tenseur de rang 0, vecteur = tenseur de rang 1, tenseurs de rang 2, 3, 4 ...tenseur polaires et tenseurs axiaux ...
Physique classique :<br>grandeurs physique : rang 0 polaire : température,...grandeurs physique : rang 1 polaire : position, vitesse, accélération, force, champ électrique...<br>grandeurs physique : rang 1 axial : moment d'un force, vitesse angulaire, champ magnétique...<br>grandeurs physique : rang 2 polaire : contrainte, déformation, ...<br>propriété physique : rang 1 polaire : effet pyroélectrique, ...<br>propriété physique : rang 2 polaire : dilatation themique, ...<br>propriété physique : rang 3 polaire : effet piézoélectrique, ...<br>propriété physique : rang 4 polaire : élasticité, rigidité, ...<br>Physique relativiste :<br>tenseur de courbure, tenseur énergie-impulsion, ...
##### Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ $`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$
* [FR] For the expression of a vector $`\vec{U}`$ in the base $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$,we shouldn't we use (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) : <br>$`\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ or $`\overrightarrow{U}=\begin{bmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{bmatrix}`$instead of $`\overrightarrow{U}=\left|\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right.`$ as we do at INSA ?
* [ES] <br>[FR] méthode des produits en croix :<br>[EN] <br>$`\forall\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$$`\quad\forall\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$$`\quad\vec{U}\land\vec{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}\land\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}`$$`\begin{pmatrix}U_2 V_3 - U_3 V_2\\U_3 V_1 - U_1 V_3\\U_1 V_2 - U_2 V_1\end{pmatrix}`$$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$
* [ES] <br>[FR] <br>[EN] method similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix :<br><br>$`\vec{U}\land\vec{V}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3}\\U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}`$$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$
#### Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors
* [ES] Producto triple escala = producto mixto.<br>[FR] Produit mixte.<br>[EN] Scalar triple product = triple product.
* [ES] :<br>[FR] Le produit mixte de 3 vecteurs ordonnés $`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$, noté $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ est le scalaire (pseudo-scalaire) défini par :<br>[EN] :<br>$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot (\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{W})`$
* Propiedades / Prppriétés / Properties :<br><br> $`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U})=(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})`$<br><br> $`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=-\,(\overrightarrow{V},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W})=-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V})=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})`$
##### Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ $`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$ $`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{W}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{W}=\sum_{i=1}^n\;VW_i\cdot\vec{e_i}`$ * [ES] :<br>[FR] Le produit mixte $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ se calcule comme le déterminant de la matrice formée par les coordonnées ordonnées en ligne des trois vecteurs $`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$ ordonnés en colonne :<br>[EN] :<br><br>$`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}`$$`=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2`$
##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
[ES] <br>[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace.<br>[EN]
Figure à créer.
#### Différentielle d'un vecteur
Por INSA / pour l'INSA / for INSA :
Consédérons le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ susceptible d'évoluer dans le temps, à la foisen direction et en norme. Entre un instant $`t`$ et $`t+dt`$ (avec $`dt`$ une variationinfinitésimale du temps) le vecteur a varié d'une quantité $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$que l'on appelle la différentielle du vecteur $`\vec{OM}`$. Ainsi on peut écrire :<br>
$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)`$
La figure ci-contre représente les vecteurs $`\overrightarrow{OM}(t+dt)`$, $`\overrightarrow{OM}(t)`$et $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$.
Plutôt que d'utiliser les vecteurs de base "conventionnels" $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, nous allons exprimer l'ensemble des vecteurs dans la base $`\overrightarrow{e_{||}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\perp}}`$.
$`d\overrightarrow{OM}=||\overrightarrow{OM}|| \cdot\overrightarrow{e_{||}}`$
$`\Psi=\Psi(t+dt)-\Psi(t)`$
$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}+d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$
Dans la limite où $`\Psi`$ tend vers $`0`$, $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ va s’aligner avec $`\overrightarrow{e_{||}}`$. Dans cette situation,$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|`$ correspond simplement à l’allongement du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$. Ainsi $`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|=\left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|`$.Par construction, le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$ va s’aligner avec le vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_T}`$ (toujours dans la limiteoù $`\Psi`$ tend vers $0`$). En utilisant le triangle rectangle, nous déduisons quesa norme vaut :<br>$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}\right|\right|= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot tan (d\Psi)`$= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot d\Psi`$.Ainsi, la différentielle du vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$s'écrit de la manière suivante :
#### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps
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